Matemáticas y música, en armonía
Este artículo ha sido escrito por:
Ricardo Cerón
El Universal
Miércoles 16 de agosto de 2006
La relación ciencia y arte también se encuentra presente en otras disciplinas como música y matemáticas.Desde que el filósofo y matemático griego Pitágoras, hace más de dos mil 500 años, relacionó la proporción entre las longitudes de cuerdas vibrantes con su emisión, o no, de sonidos “armónicos”, matemáticas y música han tenido una estrecha relación. Esto, aunque la primera es la ciencia más exacta, y la segunda, del arte más etéreo.
Recientemente Dmitri Tymoczko, investigador de la Universidad de Princeton, aseguró haber desentrañado una estructura matemática que encierra los fundamentos estéticos de la música occidental que ha sido creada a lo largo de los siglos.
Una nueva manera de ver acordes y melodías como puntos y líneas en un espacio matemático llamado orbifold, puede proporcionar un mejor entendimiento de los principios organizadores de la música occidental, según la investigación de Tymoczko, publicada en una reciente edición de la revista Science.
Los compositores occidentales enfrentan el reto de combinar la armonía (uniendo dos o más tonos en un acorde) y el contrapunto (conectando notas en una serie de acordes para crear melodías simultáneas). Tymoczko muestra que las “reglas” sobre si los acordes pueden ser enlazados de modo eficiente y acústicamente placentero pueden ser representados matemáticamente proyectando las posibles conexiones entre acordes en el espacio geométrico y mostrando precisamente cómo armonía y contrapunto están relacionados.
Este modelo matemático puede emplearse con gran éxito para analizar desde los madrigales renacentistas hasta las obras de Richard Wagner o el jazz más actual, demostrando que, pese a lo que podamos pensar y desde el punto de vista de las matemáticas, los estilos musicales son muy uniformes y proceden unos de otros de una manera continua, sin grandes revoluciones.
La Música y los Fractales
Voss, R.F. y Clark, J. publicaron en 1975 un artículo en Nature titulado “1/f noise in music and speech”. En él analizaron numéricamente una grabación de la composición de Johann Sebastian Bach “Conciertos de Brandeburgo”, concretamente el primero. Establecieron como conclusión que el espectro de potencia (veremos que es el cuadrado de la magnitud transformada de Fourier), expresado en términos de la frecuencia puede ser aproximado mediante una ley de la forma
Esta ley hiperbólica puede escribirse también en la forma:
Donde la variable frecuencia f puede expresarse en semitonos. Así, una gráfica doblemente logarítmica de log[S] frente a log(f), resulta una línea recta de pendiente -1.
Esta no es la única ley de potencia que se puede observar. El espectro de las amplitudes sigue también una ley de potencia con el mismo exponente. La amplitud de la música se obtiene mediante regularización temporal de la magnitud de la presión de sonido que se registra en las proximidades de la orquesta.
El matemático americano George David Birkhoff (1884-1944) propuso una teoría de acuerdo con la cual, para que el resultado de un trabajo de arte fuese interesante, no debería ser demasiado regular y predecible, ni tampoco exhibir demasiadas sorpresas. Trasladada esta teoría al campo de las matemáticas, podría ser interpretada diciendo que el espectro de potencia no debería ser muy ‘browniano’ (proporcional a f-2) ni semejante a un ruido blanco (proporcional a f0).
En un proceso de ruido blanco, cada valor del proceso es independiente de su pasado (es una completa sorpresa). En contraste, en la música browniana, sólo los incrementos son independientes del pasado, dando lugar a una composición más aburrida
Aparentemente, lo que la mayor parte de los oyentes prefieren, es una música en la que la sucesión de notas no es ni muy predecible ni demasiado sorprendente. En otras palabras, su espectro deberá variar como fa, con -2<a<0. A veces se denomina ruido rosa (pink).
La geometría matemática (orígenes)
La historia del origen de la Geometría es muy similar a la de la Aritmética, siendo sus conceptos más antiguos consecuencia de las actividades prácticas. Los primeros hombres llegaron a formas geométricas a partir de la observación de la naturaleza.
El sabio griego Eudemo de Rodas, atribuyó a los egipcios el descubrimiento de la geometría, ya que, según él, necesitaban medir constantemente sus tierras debido a que las inundaciones del Nilo borraban continuamente sus fronteras. Recordemos que, precisamente, la palabra geometría significa medida de tierras.
Los egipcios se centraron principalmente en el cálculo de áreas y volúmenes, encontrando, por ejemplo, para el área del círculo un valor aproximado de ( de 3′1605. Sin embargo el desarrollo geométrico adolece de falta de teoremas y demostraciones formales. También encontramos rudimentos de trigonometría y nociones básicas de semejanza de triángulos.
También se tienen nociones geométricas en la civilización mesopotámica, constituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: área del cuadrado, del círculo (con una no muy buena aproximación de (=3), volúmenes de determinados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que esta civilización conocía el teorema de Pitágoras aplicado a problemas particulares, aunque no, obviamente, como principio general.
No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte de las culturas china e india, limitándose principalmente a la resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos. También hay quien afirma que estas dos civilizaciones llegaron a enunciados de algunos casos particulares del teorema de Pitágoras, e incluso que desarrollaron algunas ideas sobre la demostración de este teorema.
En los matemáticos de la cultura helénica los problemas prácticos relacionados con las necesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas continuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas poco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemáticas que obtuvo la denominación de “logística”. A la logística fueron atribuidas: las operaciones con números enteros, la extracción numérica de raíces, el cálculo con la ayuda de dispositivos auxiliares, cálculo con fracciones, resolución numérica de problemas que conducen a ecuaciones de 1er y 2º grado, problemas prácticos de cálculo y constructivos de la arquitectura, geometría, agrimensura, etc…
Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilación de hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. Junto a la demostración geométrica del teorema de Pitágoras fue encontrado el método de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números “pitagóricos”, esto es, ternas de números que satisfacen la ecuación a2+b2=c2.
En este tiempo transcurrieron la abstracción y sistematización de las informaciones geométricas. En los trabajos geométricos se introdujeron y perfeccionaron los métodos de demostración geométrica. Se consideraron, en particular: el teorema de Pitágoras, los problemas sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo, la cuadratura de una serie de áreas (en particular las acotadas por líneas curvas).
Paralelamente, al ampliarse el número de magnitudes medibles, debido a la aparición de los números irracionales, se originó una reformulación de la geometría, dando lugar al álgebra geométrica. Esta nueva rama incluía entre otros conceptos el método de anexión de áreas, el conjunto de proposiciones geométricas que interpretaban las cantidades algebraicas, división áurea, expresión de la arista de un poliedro regular a través del diámetro de la circunferencia circunscrita. Sin embargo, el álgebra geométrica estaba limitada a objetos de dimensión no mayor que dos, siendo inaccesibles los problemas que conducían a ecuaciones de tercer grado o superiores, es decir, se hacían imposibles los problemas que no admitieran solución mediante regla y compás. La historia sobre la resolución de los tres problemas geométricos clásicos (sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo) está llena de anécdotas, pero lo cierto es que como consecuencia de ellos surgieron, por ejemplo, las secciones cónicas, cálculo aproximado del número pi, el método de exhaución como predecesor del cálculo de límites o la introducción de curvas trascendentes.
Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicionó la necesidad de creación de una teoría general de las relaciones, teoría cuyo fundamento inicial lo constituyó el algoritmo de Euclides.
Las primeras teorías matemáticas que se abstrajeron de los problemas concretos o de un conjunto de problemas de un mismo tipo, crearon las condiciones necesarias y suficientes para el reconocimiento de la autonomía y especificidad de las matemáticas.
El carácter abstracto del objeto de las matemáticas y los métodos de demostración matemática establecidos, fueron las principales causas para que esta ciencia se comenzara a exponer como una ciencia deductiva, que a partir de unos axiomas, presenta una sucesión lógica de teoremas. Las obras en las cuales, en aquella época se exponían los primeros sistemas matemáticos de denominaban “Elementos”.
Se encuentran elementos pertenecientes a muchos autores, sin embargo todos ellos han quedado relegados a un segundo plano tras la obra matematica más impresionante de la historia: Los Elementos de Euclides. “Los Elementos”, como denominaremos a esta obra a partir de ahora, están constituidos por trece libros, cada uno de los cuales consta de una sucesión de teoremas. A veces se añaden otros dos, los libros 14 y 15 que pertenecen a otros autores pero por su contenido, están próximos al último libro de Euclides.
En “Los Elementos” de Euclides se recogen una serie de axiomas o postulados que sirvieron de base para el posterior desarrollo de la geometría. Es de especial interés, por la controversia que originó en épocas posteriores el quinto axioma, denominado “el de las paralelas”, según el cual dos rectas paralelas no se cortan nunca. Durante siglos se asumió este axioma como irrebatible, hasta que en el siglo XIX surgieron las llamadas geometrías no euclídeas, que rebatieron este postulado.
Con posterioridad a Euclides y Arquímedes, las matemáticas cambiaron fuertemente, tanto en su forma como en su contenido, haciendo el proceso de formación de nuevas teorías más pausado, hasta llegar a interrumpirse.
Entre las nuevas teorías desarrolladas ocupa el primer lugar la teoría de las secciones cónicas, que surgió de las limitaciones del álgebra geométrica. El interés hacia las secciones cónicas creció a medida que aumentaban la cantidad de problemas resueltos con su ayuda. Sin duda, la obra más completa, general y sistemática de las secciones cónicas se debe a Apolonio de Perga.
En la época del dominio romano destacan algunos recetarios en forma de reglas que permitían el cálculo de algunas áreas y volúmenes; y en especial la conocida fórmula de Herón para calcular el área del triángulo conocidos los tres lados.
Durante el primer siglo del Imperio Musulmán no se produjo ningún desarrollo científico, ya que los árabes, no habían conseguido el impulso intelectual necesario, mientras que el interés por el saber en el resto del mundo, había desaparecido casi completamente. Fue a partir de la segunda mitad del siglo VIII, cuando comenzó el desenfrenado proceso de traducir al árabe todas las obras griegas conocidas, fundándose escuelas por todo el Imperio.
Destacaremos como avance anecdótico, pero no por ello carente de valor, la obtención del número pi con 17 cifras exactas mediante polígonos inscritos y circunscritos en la circinferencia realizada por Kashi (s. XV). Después de más de 150 años, en 1593, en Europa, Viète encontró sólo nueve cifras exactas. Hubo que esperar a fines del siglo XVI y comienzos del XVII para repetir el cálculo de Kashi.
El rasgo característico más importante de las matemáticas árabes fue la formación de la trigonometría. En relación con los problemas de astronomía, confeccionaron tablas de las funciones trigonométricas con gran frecuencia y alto grado de exactitud, tanto en trigonometría plana como esférica.
Entre las obras geométricas destacan las de Omar Khayyam (s. XVI) y Nasir Edin (s. XIII), directamente influenciadas por las obras clásicas, pero a las que contribuyeron con distintas generalizaciones y estudios críticos, como los relativos al axioma euclideano del paralelismo, que pueden considerarse como estudios precursores de la geometría no euclideana.
Esto es simplemente una breve introducción a lo que fue y es la geometría matemática en las diferentes civilazaciones.
Para más información puedes leer el siguiente artículo, pinchando AQUI
Abuso de autoridad y Prepotencia
Es increíble que aún hoy en día nos podamos encontrar a “alguien” que posea estas cualidades, ¿no os parece? Yo creo que con una dictadura ya hemos tenido bastante…
Digo esto porque parece ser que a lo largo de la vida de estudiante te encuentras con todo tipo de profesores, desde los más sinceros, currantes, los que se preocupan por tí, te dan ánimos, los que se limitan a pasar de ti, dándote trabajo, los que critican sin cesar etc.
Es curioso pero parece que cada año nos encontramos (al menos en mi especialidad: magisterio musical) a una especie en peligro de extinción, como podrían ser los dinosaurios del siglo XXI. Increíble pero cierto, siguen habiendo “velociraptors” sueltos por ahí.
Todos sabemos de sobra que el profesor es el “que manda” (al menos en las metodologías de la época prehistórica). Está claro que una clase sin orientación ninguna se va al garete, pero a mi parecer, lo que realmente necesitamos es orientación, y no unos libros exclusivos, no fotocopiados, llenos de “corta y pega”, con muchas fuentes bibliográficas si, pero algunos hasta proceden del mismo autor. He de señalar que los alumnos también tenemos algo que ver en los libros ¿no? La actualidad manda en cuanto a legislación escolar.
Seguramente, sea una eminencia en su terreno, pero así no se puede considerar buen maestro, por mucho que digan sus papeles.
Yo le daría un buen consejo. ¿Alguna vez se ha autoevaluado? o al menos ¿ha dejado que sus alumnos opinen sobre usted?
Ni mucho menos me considero el Yavhé de la educación, pero piense y medite sus posturas, al menos… piense sobre usted, de manera diferente a lo que está acostumbrada.
El tiempo lo dirá, o su plan pisa 2007 lo dice, más bien. Evidentemente los resultados serán buenos… España 34 de Europa en aspectos de educación.
Espero que los dinosaurios del siglo XXI se extingan pronto…
Dios!!!! Manda un meteorito!!!!!!!!
La educación…en otros ámbitos
“El mundo del circo no es ni tan mágico ni tan fantástico como muchas veces se nos ha querido hacer creer”, es el sentir de los maestros de circo de las 11 aulas itinerantes, que se reúnen cada trimestre para comunicarse, revisar, debatir, evaluar su trabajo, compartir experiencias y profundizar en algún tema de su interés.
El Programa de Aulas Itinerantes en Circos lo creó el Ministerio de Educación en 1986. Las empresas circenses, de forma voluntaria, solicitan un convenio con la Administración para escolarizar a la población más joven que viaja con el circo.
Estas aulas funcionan de forma parecida a las “aulas unitarias” de las escuelas rurales, pero con singularidades como la movilidad del alumnado, su diversidad lingüística, su inmersión en el mudo laboral y un ambiente que a veces no es el más apropiado para el estudio; son niños y niñas despiertos, inquietos, imaginativos y dinámicos, con mentalidad de provisionalidad y desarraigo, que se autoafirman magnificando el modo de vida circense, que necesitan ejercitar la concentración y la atención en las tareas escolares y abrirse a un mundo más amplio que “la gran familia del circo”.
Isabel Hermosell y Gerardo González, los maestros más veteranos del grupo, han elaborado una “Guía para orientarse”, que es de gran utilidad para los maestros que se incorporan a estas aulas. En ella, además de informar de aspectos prácticos, profundizan en la cultura de este microcosmos que es el circo.
Este curso el MECD ha solicitado al IEPS participar en dos de los encuentros para trabajar con estos maestros metodologías y recursos que hagan las matemáticas más motivadoras y accesibles a alumnos tan especiales como Daniel, que habla tres idiomas, su casa es una caravana ambulante, su padre es payaso y su madre contorsionista, tiene por vecino un elefante y no sabe dónde dormirá mañana; o Iñigo y Ramón de 11 y 9 años, que ya tienen en el circo su número propio, de payasos. En las sesiones de matemáticas hemos trabajado con recursos de tipo lúdico: bingos, barajas y dominós para tratar aspectos numéricos, papiroflexia y rompecabezas para hacer geometría y juegos de estrategia para desarrollar el razonamiento.
La Acústica Matemática
Increiblemente, una vez más las matemáticas vuelven a encontrarse en mi camino. Supongo que me llamaréis pesado, pero es mi vida y mi disfrute personal. Estamos hablando de la música y de nuestros conciertos (alguno que otro didáctico).
Al grano, he estado investigando sobre la acústica y he encontrado su relación con las matemáticas. Os la dejo esbozada aquí:
En la antigüedad, filósofos griegos como Aristoteles (c. 384-322 AC) y Chrysippus (c. 240 AC) comenzaron a teorizar acerca de la naturaleza del sonido. En 1657 Gaspare P. Schotto en su libro “Magiae Universalis” publicado en Herbipoli, actual Wurzburg (Alemania), describió ejemplos de análisis de ondas sonoras así como su generación mediante instrumentos basados en agua.
El comienzo del estudio científico de las ondas acústicas se suele atribuir al francés Marin Mersenne (1988-1648), considerado el padre de la acústica, y a Galileo Galilei (1564-1642) con su “Discursos Matemáticos concernientes a dos nuevas ciencias” (1638).
Isaac Newton (1642-1727) desarrolló la teoría matemática de la propagación del sonido en su “Principia” en 1686. Luego, habrían de transcurrir muchos años hasta que, en el siglo XIX, los trabajos realizados por Stokes, Thomson, Lamb, König, Tyndall, Kundt y otros precedieron el importante desarrollo de Helmholtz en su “Teoría fisiológica de la música” en 1868 para luego llegar al gran tratado de dos volúmenes de Lord Rayleigh “Teoría del Sonido” en 1877 y 1878.
También cabe destacar el enorme aporte de los laboratorios BELL a la Acústica, Electroacústica y Psicoacústica durante la primera mitad de este siglo.
VIVA LA MÚSICA!
Arquitectura y Matemáticas
El siguiente artículo de la arquitectura y las matemáticas es propiedad ajena, por lo que hago constar su referencia.
Arquitectura y matemáticas.
La geometría al servicio del arte: de Gaudí a Gehry
Juan Monterde. Departamento de Geometría y Topología, Universitat de València.
No extraña a nadie el hecho de que las matemáticas tengan una aplicación directa en arquitectura. Todos nos podemos imaginar que, antes de poner manos a la obra, el arquitecto tiene que comprobar que la estructura que quiere construir es realizable teniendo en cuenta la resistencia de los materiales que empleará, las cargas que tienen que soportar y quizás también el coste económico. Sin embargo parece que esta aplicación se reduce sólo a esto, al cálculo de estabilidades, de tensiones, etc., pero de ninguna forma al diseño del objeto arquitectónico mismo. Pensamos, y es bien cierto, que con respecto a la creación artística, el arquitecto aparta de su mesa de trabajo las matemáticas y deja volar la imaginación en la búsqueda de la forma deseada.
Pues bien, esto no es exactamente así.
Lo que quizás resulta desconocido es que las matemáticas también pueden ayudar, y de hecho lo hacen, si no en el mismo momento mágico de creación artística, sí en el inmediatamente posterior. “Toda creación arquitectónica es geometría’’ es una máxima que se puede encontrar en los tratados de geometría descriptiva. Desde siempre, los arquitectos han aprovechado superficies de las que pueden calificarse de clásicas y las combinaban acertadamente. Y en nuestros días, también lo continúan haciendo. Una nueva teoría, la de las superficies de Bézier y sus generalizaciones, engendrada a principios de la década de los 60 en varias empresas automovilísticas y de construcción aeronáutica, permite ayudar al arquitecto a diseñar superficies de manera arbitraria con sencillez y elegancia.
El “nuevo” foro
Como todos sabéis he propuesto a nuestra profesora, Chiti, la creación y utilización de un nuevo foro.
Se trata de un foro creado en foroactivo.com, un servicio gratuito de alojamiento de foros. Lo descubrí hace un año más o menos (mayo 2006) y desde entonces administro el foro de mi banda, que ya todos mas o menos conoceréis si vistáis este blog. No soy egocéntrico ni muchísimo menos, se trata de una iniciativa que trato de llevar a cabo, sólo si vosotros queréis.
Las diferencias con el foro de google groups son significativas, podemos encontrar mayor dificultad en algunos aspectos mientras que en otros todo lo contrario. Veamos una serie de ventajas de este foro:
1)Tiene la posibilidad de que podáis subir todo tipo de archivos (códigos html). Se que muchos no tienen mucha idea sobre ello, por lo que dejaré aquí dos pequeñas pautas para lo esencial.
Imágenes: No necesitáis tener conocimientos html, para subir una imagen tan sólo debéis pinchar 
y poner la url de la imagen seleccionada en internet (copiarla en donde os pide y listo).
Videos: Como los mas vistos y utilizados son los del servicio youtube, os explicaré cómo subirlos. Es tan secillo como buscar un video (el que os gustaria subir) y copiar el código embed que aparece a la derecha del mismo. Empezaría asi mas o menos : <object…
2) Contiene un chat incorporado para poder interaccionar mientras estés dentro del foro. Solo necesitas registrarte en el foro para poder usar la Chatbox. Estarás conectado si pinchas en “conectarte” en la chat box situada en la parte inferior del foro. No tiene límite de usuarios.
3) Tiene la disponibilidad de realizar encuestas. Votos totalmente anónimos sobre cuestiones que vosotros podréis realizar. Para realizar una encuesta, es sencillo. Cada vez que escribes en la parte inferior de la pantalla hay una opción “agregar sondeo”. Este sondeo es la encuesta. Introduce en el primer recuadro tu pregunta. Y en el segundo las opciones a votar. Recuerda que cada línea que escribas es una opción a votar.
4)Como no todo es de color de rosa, este foro es más complicado, pero a la vez mejor que el anterior. ¿Qué decides?
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Matemáticas y la Pintura Renacentista
Cacharreando por ahi, encontré este artículo muy interesante sobre las matemáticas y la pintura Renacentista. Es curioso ver dia a dia cómo las matemáticas intervienen en nuestras vidas sin que a penas nos demos cuenta.
El enlace del artículo encontrado es ESTE.
Hay muchos ejemplos de la relación entre las artes y la matemática, pero
en este artículo vamos a ver la importante relación entre matemáticas y pin-
tura en el Renacimiento. En la pintura medieval, las figuras eran simbólicas
más que realistas y las formas planas y sin naturalidad. Por el contrario, la
descripción del mundo real se convierte en el Renacimiento en el objetivo de
la pintura. Por esta razón, los artistas emprenden el estudio de la naturaleza
para reproducirla fielmente en sus lienzos. Esto les conduce a enfrentarse con
el problema matemático de representar el mundo real tridimensional en un
lienzo bidimensional. El uso de la perspectiva es la diferencia fundamental
entre la pintura de la Edad Media y la del Renacimiento.
Brunelleschi (1377-1446) ya prestó atención a este problema, pero fue
Leon Battista Alberti (1404-1472) el primero en escribir una obra, Della
Pittura (1435), que recogía algunos de los aspectos matemáticos que plantea
el problema en cuestión. Su principio básico puede explicarse de la siguiente
forma: Entre la escena y el ojo interponemos una pantalla de vidrio en
posición vertical. Se llaman líneas de fuga las que van desde el ojo hasta
cada punto de la escena. Donde estas líneas atraviesan la pantalla de vidrio
(la imagen plana), imaginaba puntos que determinan lo que denomina una
sección. Ésta crea la misma impresión sobre el ojo que la escena misma,
porque de la sección provienen las mismas líneas de luz que de la escena
original. En consecuencia, el problema de pintar en forma realista es el de
obtener una sección verdadera sobre la pantalla de vidrio (en la práctica
sobre el lienzo). Como el pintor no mira a través del lienzo, para determinar
la sección debe disponer de reglas basadas en teoremas matemáticos que
establezcan la forma de dibujarla.
Alrededor del año 1478 aparece una obra del pintor italiano Piero della
Francesca (1410-1492), titulada “De perspectiva pingendi“, donde se
establecen los principios matemáticos de la perspectiva de una forma bastante
completa. Está considerado como el mejor geómetra de la época.
Esta relación entre Matemáticas y Arte se observa también en la obra
de Leonardo da Vinci, que llegó a escribir un libro sobre perspectiva que se
ha perdido. Curiosamente, Leonardo comienza su “Trattato della pittura”
con la siguiente frase: “Nadie que no sea matemático lea mis obras”.
También en la obra de Alberto Durero, contemporáneo de Leonardo,
se observa esta combinación de intereses matemáticos. Un famoso grabado
de Durero titulado “Melancolía” (1514) contiene en un lugar bien visible un
cuadrado mágico (en un cuadrado mágico, la suma de los números de cada
fila, columna o diagonal es la misma). La obra más importante de Durero
se llama “Investigaciones sobre la medida de figuras planas y sólidas por
medio de círculos y líneas rectas”. Entre otras cosas, contiene el estudio de
algunas curvas nuevas.
Por lo general, los que se ocupaban por la perspectiva no eran conoce-
dores de la matemática rigurosa y no distinguían entre resultados exactos
y aproximados. Por ejemplo, Durero da una construcción de un pentágono
regular que es exacta e idéntica a la de Ptolomeo (siglo II). Pero las construc-
ciones de los polígonos regulares de siete y nueve lados son sólo aproximadas.
La relación entre arte y geometría podría haber sido más fructífera si
los matemáticos profesionales se hubieran sentido atraídos. Desafortunada-
mente, esto no fue asíy, después de Durero, no hubo progreso alguno durante
un siglo.
Brook Taylor (1685-1731), más conocido por los desarrollos en serie de
potencias, se interesó por la perspectiva y llegó a publicar dos libros. Dio la
primera formulación general del principio de los puntos de fuga.
Es curioso que las primeras innovaciones importantes en geometría,
después de Pappus (siglo IV d.C.), fueron las respuestas a los problemas
planteados por los pintores del Renacimiento. El primero en atacar estos
problemas fue Girard Desargues (1591-1661). Su intención era mejorar la
formación y las técnicas de los artistas, ingenieros y talladores de piedra.;
la teoría por sí misma le interesaba poco. Empezó por poner en orden mu-
chos teoremas utilizables y llegó a difundir sus resultados en cartas y hojas
impresas. Su obra principal trata de lo que ahora llamaríamos métodos
proyectivos en geometría. Desargues empleaba una terminología un tanto
extrañna. De hecho, Pascal, Fermat y Descartes le llamaron loco. Una de las
ideas nuevas de Desargues fue la de considerar que todo par de rectas (en
el plano) se cortan en un punto, incluso las paralelas, que se cortan en el
infinito.
Sus métodos y resultados resultaron ser los comienzos de una nueva
rama de la geometría, conocida a partir del siglo XIX como geometría
proyectiva. Estuvo abandonada hasta ese momento en favor del álgebra,
el cálculo y la geometría analítica que proporcionaban los resultados
cuantitativos necesarios para las ciencias y la nueva tecnología. En el siglo XIX, los
matemáticos logran sacar el fruto de las grandes ideas que estaban latentes
en la geometría proyectiva.
